1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)，即(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3[n(n+1)/2]+n。所以3S=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-(n+1)，即S=n(n+1)(2n+1)/6。
平方和相关公式
（1）1+2+3+.+n=n(n+1)/2。
（2）1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
（3）1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+.+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)。